« Une médaille Fields immédiate » : l’IA d’OpenAI revendique une avancée sur l’hypothèse de Riemann

OpenAI a mis en ligne ce mardi 6 octobre 722 manuscrits de mathématiques produits par un modèle interne. L’entreprise n’a pas donné le nom de ce modèle et ne l’a pas rendu public. Dans le lot, un résultat sur la fonction zêta, au cœur de l’hypothèse de Riemann, fait réagir des mathématiciens reconnus. Pourtant, personne ne l’a encore vérifié de façon indépendante.

Les textes sont rangés sur un dépôt GitHub baptisé « math », en 372 familles. Une famille regroupe un résultat principal et ses variantes, ses conséquences ou ses preuves alternatives. Le modèle a reçu environ 4 000 problèmes ouverts, et OpenAI n’a gardé que les résultats qu’elle jugeait importants.

Zêta n’est pas le seul gros morceau du catalogue. OpenAI revendique aussi une preuve de la conjecture des jeux uniques (Unique Games), un problème central en informatique théorique, et un cas particulier de la conjecture de Hodge, un autre problème du millénaire.

Chaque résultat retenu a demandé en moyenne l’équivalent de trois heures de réflexion de ChatGPT Pro, l’offre la plus haut de gamme du chatbot. En clair, une après-midi de calcul pour chaque problème qui a abouti.

Cette fois, OpenAI a soigné la forme. En septembre, l’entreprise avait affirmé avoir résolu un problème réputé insurmontable, les équations de Navier-Stokes, et des mathématiciens avaient contesté cette revendication. Le 21 septembre, des mathématiciens approchés par OpenAI ont lancé un groupe consultatif sur les mathématiques et l’IA, hébergé par l’Institute for Advanced Study de Princeton et indépendant de toute entreprise.

Ses neuf membres, dont Timothy Gowers et Edward Witten, ne sont pas payés. Ils conseillent les entreprises d’IA sur la manière de publier leurs résultats. OpenAI dit s’être appuyée sur leurs recommandations pour cette mise en ligne.

« Une médaille Fields immédiate »

L’hypothèse de Riemann, formulée en 1859, porte sur les zéros de la fonction zêta, c’est-à-dire les points où elle s’annule. Ces zéros, hormis quelques zéros dits triviaux, se trouvent tous dans une bande où la partie réelle (en gros, la position horizontale) va de 0 à 1. Riemann a supposé qu’ils sont tous exactement sur la ligne 1/2. Personne ne l’a démontré, et le problème fait partie des sept problèmes du millénaire listés par l’institut Clay.

Jusqu’ici, les mathématiciens savaient seulement exclure les zéros d’une marge collée au bord 1. Plus on monte dans la bande, plus cette marge s’amincit. OpenAI affirme que son modèle a montré qu’aucun zéro n’a une partie réelle supérieure à 7/8 (soit 0,875), sur toute la hauteur de la bande. Une seconde preuve, obtenue par une autre méthode, aboutit à une borne un peu moins forte, à 11/12.

Alex Kontorovich, professeur à l’université Rutgers, a réagi sur X, comme le détaille Numerama. D’après lui, si un humain avait obtenu ce résultat, il vaudrait « une médaille Fields immédiate, sans discussion ». Cette médaille est la plus haute distinction en mathématiques.

Levent Alpöge, chercheur chez Anthropic, s’était pourtant opposé à OpenAI dans l’affaire Navier-Stokes. Il parle du « moment le plus significatif de l’histoire des mathématiques ». Il salue aussi l’exclusion des « zéros de Siegel », des zéros hypothétiques très proches de 1 que pourraient avoir les fonctions L de Dirichlet, des cousines de zêta. OpenAI affirme que le résultat couvre aussi toutes les fonctions L de Dirichlet.

Des preuves que personne n’a encore relues

L’hypothèse de Riemann complète reste ouverte, puisque rien n’est démontré pour la zone située entre 1/2 et 7/8. Surtout, aucun de ces 722 textes n’est passé par une relecture de la communauté mathématique.

Une partie des manuscrits existe aussi en Lean, un langage de programmation qui permet à un ordinateur de vérifier une preuve étape par étape. Le résultat à 7/8 en fait partie. En revanche, OpenAI reconnaît dans son dépôt que certains résultats non formalisés « pourraient avoir des problèmes ».

Le travail sur zêta n’a pas suivi la procédure standard appliquée à la quasi-totalité des autres résultats. OpenAI le classe parmi les exceptions, sans détailler le rôle de ses équipes. Elle précise seulement que des humains ont retouché la rédaction de la preuve à 11/12 pour la rendre lisible.

OpenAI promet d’enregistrer chaque correction comme une nouvelle version du dépôt et de garder les anciennes accessibles. Le modèle n’a toujours ni nom ni date de sortie. L’entreprise dit seulement travailler à le publier « de manière responsable ».